已知f(x)=ln(x+1),g(x)=12ax2+bx

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  • 解题思路:(1)构造函数C(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,利用导数求m(x)的最大值为φ(0)=0,即可得证;

    (2)由h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间得h′(x)<0有解,解不等式即得结论;

    (3)利用(1)的结论ln(x+1)≤x,把式子作差得xlnx-ylny-(x+y)ln

    x+y

    2]=-xln(1+[y−x/2x])-yln(1+[x−y/2y])即由(1)知

    xlnx+ylny−(x+y)ln

    x+y

    2

    ≥−x•

    y−x

    2x

    −y•

    x−y

    2y

    =0

    ,故命题得证.

    (1)设m(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,

    则ϕ′(x)=

    1

    x+1−1=

    −x

    x+1.….2分

    x (-1,0) 0 (0,+∞)

    m′(x) + 0 -

    m(x) ↗ 最大值 ↘∴当x=0时,m(x)有最大值0,

    ∴m(x)≤0恒成立.

    即f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立.….4分

    (2)b=2时h(x)=lnx−

    1

    2ax2−2x,h′(x)=

    1

    x−ax−2,

    ∵h(x)有单调递减区间,∴h′(x)<0有解,即

    1−ax2−2x

    x<0有解,

    ∵x>0,∴ax2+2x-1>0有解,….6分

    ①a≥0时合题意

    ②a<0时,△=4+4a>0,即a>-1,

    ∴a的取值范围是(-1,+∞)….8分

    (3)证明:∵xlnx-ylny-(x+y)ln[x+y/2]=x(lnx-ln[x+y/2])+y(lny-ln[x+y/2])

    =xln[2x/x+y]+yln[2y/x+y]=-xln[x+y/2x]-yln[x+y/2y]=-xln(1+[y−x/2x])-yln(1+[x−y/2y])

    当0

    −1,

    x−y

    2y>−1,由(1)知xlnx+ylny−(x+y)ln

    x+y

    2≥−x•

    y−x

    2x−y•

    x−y

    2y=0

    等号在

    y−x

    2x=

    x−y

    2y=0,即x=y时成立.

    而y>x>0,

    ∴xlnx+ylny−(x+y)ln

    x+y

    2>0成立.….13分.

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识及不等式恒成立问题的证明,考查分类讨论数学思想及转化划归思想的运用能力,属难题.

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