解题思路:(1)构造函数C(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,利用导数求m(x)的最大值为φ(0)=0,即可得证;
(2)由h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间得h′(x)<0有解,解不等式即得结论;
(3)利用(1)的结论ln(x+1)≤x,把式子作差得xlnx-ylny-(x+y)ln
x+y
2]=-xln(1+[y−x/2x])-yln(1+[x−y/2y])即由(1)知
xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2
≥−x•
y−x
2x
−y•
x−y
2y
=0
,故命题得证.
(1)设m(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,
则ϕ′(x)=
1
x+1−1=
−x
x+1.….2分
x (-1,0) 0 (0,+∞)
m′(x) + 0 -
m(x) ↗ 最大值 ↘∴当x=0时,m(x)有最大值0,
∴m(x)≤0恒成立.
即f(x)-g(x)≤0对于x∈(-1,+∞)恒成立.….4分
(2)b=2时h(x)=lnx−
1
2ax2−2x,h′(x)=
1
x−ax−2,
∵h(x)有单调递减区间,∴h′(x)<0有解,即
1−ax2−2x
x<0有解,
∵x>0,∴ax2+2x-1>0有解,….6分
①a≥0时合题意
②a<0时,△=4+4a>0,即a>-1,
∴a的取值范围是(-1,+∞)….8分
(3)证明:∵xlnx-ylny-(x+y)ln[x+y/2]=x(lnx-ln[x+y/2])+y(lny-ln[x+y/2])
=xln[2x/x+y]+yln[2y/x+y]=-xln[x+y/2x]-yln[x+y/2y]=-xln(1+[y−x/2x])-yln(1+[x−y/2y])
当0
−1,
x−y
2y>−1,由(1)知xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2≥−x•
y−x
2x−y•
x−y
2y=0
等号在
y−x
2x=
x−y
2y=0,即x=y时成立.
而y>x>0,
∴xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2>0成立.….13分.
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识及不等式恒成立问题的证明,考查分类讨论数学思想及转化划归思想的运用能力,属难题.
1年前
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