解题思路：（1）构造函数C（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，利用导数求m（x）的最大值为φ（0）=0，即可得证；
（2）由h（x）=f（x-1）-g（x）存在单调递减区间得h′（x）＜0有解，解不等式即得结论；
（3）利用（1）的结论ln（x+1）≤x，把式子作差得xlnx-ylny-（x+y）ln
x+y
2]=-xln（1+[y−x/2x]）-yln（1+[x−y/2y]）即由（1）知
xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2
≥−x•
y−x
2x
−y•
x−y
2y
＝0
，故命题得证．
（1）设m（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，
则ϕ′(x)＝
1
x+1−1＝
−x
x+1．….2分
x （-1，0） 0 （0，+∞）
m′（x） + 0 -
m（x） ↗ 最大值 ↘∴当x=0时，m（x）有最大值0，
∴m（x）≤0恒成立．
即f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1，+∞）恒成立．….4分
（2）b=2时h(x)＝lnx−
1
2ax2−2x，h′(x)＝
1
x−ax−2，
∵h（x）有单调递减区间，∴h′（x）<0有解，即
1−ax2−2x
x<0有解，
∵x>0，∴ax2+2x-1>0有解，….6分
①a≥0时合题意
②a<0时，△=4+4a>0，即a>-1，
∴a的取值范围是（-1，+∞）….8分
（3）证明：∵xlnx-ylny-（x+y）ln[x+y/2]=x（lnx-ln[x+y/2]）+y（lny-ln[x+y/2]）
=xln[2x/x+y]+yln[2y/x+y]=-xln[x+y/2x]-yln[x+y/2y]=-xln（1+[y−x/2x]）-yln（1+[x−y/2y]）
当0
−1，
x−y
2y>−1，由（1）知xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2≥−x•
y−x
2x−y•
x−y
2y＝0
等号在
y−x
2x＝
x−y
2y＝0，即x=y时成立．
而y>x>0，
∴xlnx+ylny−(x+y)ln
x+y
2>0成立．….13分．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识及不等式恒成立问题的证明，考查分类讨论数学思想及转化划归思想的运用能力，属难题．
1年前
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