Question

已知函数f（x）=xp+qx+r，f（1）=6，f′（1）=5，f′（0）=3，an＝1f(n)，n∈N+，则数列{an

Answer 1

解题思路：由f（x）=x^p+qx+r，知f'（x）=p•x^p-1+q，由f′（1）=5=p+q，f'（0）=3=q f（1）=6=1+q+r 解得p=2，q=3，r=2．于是f（x）=x²+3x+2，由

a

n

＝

1

f(n)

，n∈

N

+

，用裂项求和法能求出数列{a_n}的前n项和．

∵f（x）=x^p+qx+r，

∴f'（x）=p•x^p-1+q，

∵f′（1）=5=p+q，f'（0）=3=q f（1）=6=1+q+r

解得p=2，q=3，r=2，

于是f（x）=x²+3x+2，

∵an＝

1

f(n)，n∈N+，

∴an＝

1

n2+3n+2=[1/n+1−

1

n+2]，

∴数列{a_n}的前n项和：

Sn＝

1

2−

1

3+

1

3−

1

4 +…+[1/n+1−

1

n+2]

=[1/2]-[1/n+2]

=[n

2(n+2)=

n/2n+4]．

故答案为：[n/2n+4]．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意函数的性质和导数的灵活运用，合理地运用裂项求和法进行解题．