Question

求证：多项式x^9999+x^8888+……+x^1111+1能被x^9+x^8+……+x+1整除

Answer 1

设x^9+x^8+……+x+1=0的根为a,（a为复数）,则a^9+a^8+……a^1+1=0

所以a^10－1=(a－1)(a^9+a^8+……+1)=0,所以a^10=1

设f(x)=x^9999+x^8888+……+x^1111+1

则f(a)=(a^10)^999×a^9+……+1=a^9+a^8+……+a+1=0

所以f(x)可被x^9+x^8+……+x+1整除