Question

△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E、F为BC上的两点,满足∠EAF=45°,求证：BE^2+CF^2=EF^

Answer 1

将△AEB逆时针转动直至AB与AC重合,即形成的新△AE'C≌△AEB,

AE'=AE,CE'=BE.

∠E'AC=∠EAB,∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°（直角三角形AB=AC),BE=CE'.

连接E'F.

∠E'AF=∠E'AC+∠FAC=∠EAB+∠FAC=90°-45°=45°

又∠EAF=45°,所以∠EAF=∠E'AF,

又AE'=AE,AF为公用边,△E'AF≌△EAF,E'F=EF,

又∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°,∠ACE'+∠ACB=45°+45°=90°,

△CE'F为RT△,E'F²=CE'²+FC²,

又CE'=BE,E'F=EF,

EF²=BE²+FC²