解题思路：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，又因为AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，所以可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，则∠ABE=∠EAD=60°，所以△ABC≌△AED（SAS）；因为△FCD与△ABD等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），所以S△FCD=S△ABD，又因为△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC=S△DEC，所以S△ABE=S△CEF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△AED（SAS）；①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF；⑤正确．
∵AD与AF不一定相等，
∴③不一定正确；
∵BE不一定等于CE，
∴④不一定正确．
故选C．
点评：
本题考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定；等边三角形的判定．
考点点评： 此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．