Question

数列{an}满足a1＞1，an+1-1=an（an-1），（n∈N+），且 [1a1+1a2+…+1a2012

Answer 1

解题思路：根据题中条件：“an+1-1=an（an-1）”的特点，想到两边同时取倒数这一步，从而得出1an=1an−1-1an+1−1，再利用叠加法求和，得出a2013与首项之间的关系，最后利用基本不等式求最小值即可．

a₁＞1，由a_n+1-1=a_n（a_n-1），（n∈N₊）知，对所有n，a_n＞1，

等式两边取倒数，得

1

an+1-1=

1

an(an-1)=

1

an-1-

1

an，得，

1

an=

1

an-1-

1

an+1-1，

则

1

a1+

1

a2+…+

1

a2012=

1

a1-1-

1

a2013-1=2

整理可得，a₂₀₁₃=

2-a1

3-2a1，

a₂₀₁₃-4a₁=2（3-2a₁）+

1

2(3-2a1)-

11/2]≥2

(3-2a1)

1

3-2a1-[11/2]=-

7

2．

则a₂₀₁₃-4a₁的最小值为 -

7

2．

故答案为：-

7

2．

点评：

本题考点： 数列的函数特性．

考点点评： 本题主要考查了数列的函数特性，叠加法求数列的前n项和，考查了基本不等式求最值等，属于中档题．