Question

若函数f(x)=x^3-ax^2(a>0)在区间(20/3,正无穷大)上是单调增函数,求使方程f(x)=1000有整数解

Answer 1

对f(x)求导得f’(x)=3x²+2ax

令f’(x)≥0以求原函数的单调增区间得3x²+2ax≥0,解得x≤0或x≥(2/3)a.

令f’(x)≤0以求原函数的单调减区间得3x²+2ax≤0,解得0≤x≤(2/3)a.

由题意知,区间(20/3,+∞)处于增区间,且(2/3)a≤20/3,结合已知条件a>0,解得00,所以f(x)=1000的解只能在(a,+∞)上.

由x³-ax²=1000,变形得a=x-(1000/x²),而

记g(x)=x-(1000/x²),因为0