Question

（2014•南京模拟）设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满足A中的最大

Answer 1

解题思路：（1）当n=3时，P={1，2，3 }，由此能求出a₃=5．

（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，可在A中，

B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a_n．

（1）当n=3时，P={1，2，3 }，

其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，

则所有满足题意的集合对（A，B）为：

（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），

（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，

∴a₃=5．…（3分）

（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，

则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，

可在A中，故A的个数为：

C0k-1

+C1k-1+…

+Ck-1k-1=2k-1，…（5分）

B中必不含元素1，2，…，k，

另元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中，

故B的个数为：

C1n-k

+C2n-k+…

+Cn-kn-k=2^n-k-1，…（7分）

从而集合对（A，B）的个数为2^k-1•（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1，

∴a_n=

n-1

k=1（2^n-1-2^k-1）

=(n-1)•2n-1-

1-2n-1

1-2

=（n-2）•2^n-1+1．…（10分）

点评：

本题考点： 数列的求和；子集与真子集．

考点点评： 本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．