本文从Riemann积分和Lebesgue积分的定义出发,揭示它们的本质并不是划
分的不同,而是在于分别由其可积函数全体构成的空间是否具有完备性.
关键词:Riemann积分; Lebesgue积分;划分;可积;完备
中图分类号:O 172 文献标识码:A
在一般的分析书中,只揭示了Riemann
积分[1]和Lebesgue积分[2]的关系,指出了
Lebesgue积分是Riemann积分的一种推广,
并为一般有界函数Riemann积分提供了一
个简明的判别准则[2,3].但没有指出Rie-
mann积分和Lebesgue积分的本质区别到底
是什么.下面我们就从它们的定义出发,利
用空间的完备性概念来加予探讨.
1.Riemann积分
Riemann积分是为了解决计算平面上封
闭曲线围成图形的面积而产生的,它是从划
分闭区间[a,b]着手,利用极限思想来定义
的[1,5].
定义设函数f(x)在[a,b]上有定义.
任给[a,b]一个划分T:
a=x0