Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=ax3-2ax2+bx+1（a＞0）

Answer 1

解题思路：（1）当x＜0时，-x＞0，故f（-x）=-ax³-2ax²-bx+1，再由f（x）是定义在R上的奇函数，能求出函数y=f（x）的解析式．

（2）当x∈[2，3]时，g（x）=

f(x)−1

x

=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，由a＞0，知g（x）在区间[2，3]上单调递增，由此能求出a，b的值．

（1）当x＜0时，-x＞0，

故f（-x）=a（-x）³-2a（-x）²+b（-x）+1

=-ax³-2ax²-bx+1，

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，

故f（x）=-f（-x）=ax³+2ax²+bx-1，

所以f（x）=

ax3−2ax2+bx+1，x＞0

0，x＝0

ax3+2ax2+bx−1，x＜0．

（2）当x∈[2，3]时，g（x）=

f(x)−1

x=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，

∵a＞0，∴g（x）在区间[2，3]上单调递增，

故

g(3)＝4

g(2)＝1，

∴

9a−6a+b＝4

4a−4a+b＝1，

解得a=1，b=1．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．