Question

（2012•徐汇区一模）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数z=（m+ni）（n-4m）（i是虚数单位）为

Answer 1

解题思路：（1）依据题意对函数求导，根据导数的几何意义得到数列的递推公式，由所得的递推公式构建关于数列{a_n}的项之间的关系，发现规律，用间接法求数列{a_n}的通项公式；

（2）根据题设，由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，由于此数列的通项是由可以看作是两个数列通项的和组成，故求数列{na_n}的前n项和为T_n，要先分组，其中一组用等差数列的求和公式求和，另一组用错位相减法求和，然后再相加即可得到数列{na_n}的前n项和为T_n；

（3）由数列{a_n}的通项公式及不等式的形式，此不等式的证明要采取逐步放大的方法进行证明，

（1）y’=2x-n，由导数的几何意义，得S_n=2a_n-n①，（1分）则S_n+1=2a_n+1-（n+1）②，

②一④得：a_n+l=2a_n+1-2a_n-1，即a_n+1=2a_n+l，（2分）故a_n+1=2（a_n+1）．（3分）

由①知，a_l=S₁=2a₁-1，得a₁=1．（4分）

∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴a_n+l=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-l（n∈N^*）．（5分）

（2）由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，则Tn＝(1•2+2•22+3•23++n•2n)−(1+2+3++n)＝An−

n(n+1)

2，其中A_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2A_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②

①一②得：−An＝2+22+23++2n−n•2n+1＝

2(1−2n)

1−2−n•2n+1＝2n+1−2−n•2n+1

∴A_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（8分）故Tn＝(n−1)2n+1+2−

n(n+1)

2（9分）

（3）∵

1

an＝

1

2n−1＝

2n+1−1

(2n−1)(2n+1−1)＜

2n+1

(2n−1)(2n+1−1)＝2•

(2n+1−1)−(2n−1)

(2n−1)(2n+1−1)=2(

1

2n−1−

1

2n+1−1)(n≥2)（12分）∴

1

a1+

1

a2+

1

a3++

1

an＜1+2[(

1

22−1−

1

23−1)+(

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查了由递推公式求数列通项，分组求和与错位相减法求和等求和的技巧，以及放缩法证明不等式的技巧，本题综合性较强，对灵活运用知识与技巧进行变形要求很高，是一个能力型的题．