Question

已知函数f（x）满足f（logax）=aa2−1(x−x−1)，a＞0且a≠1

Answer 1

解题思路：（1）换元法：令t=log_ax，则x=a^t，代入函数式可得解析式，利用奇偶函数的定义可判断；

（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，利用指数函数的单调性可作出判断；

（1）令t=log_ax，则x=a^t，

则f（t）=

a

a2−1(at−a−t)，

所以f（x）=

a

a2−1(ax−a−x)，

函数定义域为R，且f（-x）=

a

a2−1(a−x−ax)=-f（x），

故f（x）为奇函数；

（2）当a＞1时，a^-x递减，-a^-x递增，a^x递增，所以a^x-a^-x递增，

又

a

a2−1＞0，所以f（x）在R上递增；

当0＜a＜1时，a^-x递增，-a^-x递减，且a^x递减，所以a^x-a^-x递减，

又

a

a2−1＜0，故此时f（x）递增；

综上，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上递增．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属中档题．