Question

设函数f（x）=x3+3bx2+3cx存在两个极值点x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]则b2+c2的范围

Answer 1

解题思路：由f（x）得f′（x）=3x²+6bx+3c由题意知方程f′（x）=0有两个根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]则由根的分布得有2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0．正确理解b²+c²的含义是距离的平方，再结合线性规划求出答案即可．

f′（x）=3x²+6bx+3c，

由题意知方程f′（x）=0有两个根x₁，x₂，

且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]则有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．

即满足下列条件

2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0．

故有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点（b，c）的区域．

则b²+c²表示点（b，c）与原点距离的平方．

根据两点之间的距离公式与点到直线的距离公式可得：b²+c²的范围为[

1

5，

17

4]．

故答案为[

1

5，

17

4]．

点评：

本题考点： 函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟悉导数与实根分布问题的处理方法，进而转化为利用线性规划问题求最值（距离的平方、在y轴上的截距、直线的斜率），像这种综合性较强的题目是学生的难点也是高考考查的重点．