1.b²x²-2y²=2b²,y=x+m
b²x²-2(x+m)²=2b²
(b²-2)x²-4mx-2m²-2b²=0.(*)
上面的方程对任何实数m总有实数解.
讨论：1)b²-2=0,方程*化为：-4mx-2m²-2=0
m=0就不符合
∴b²-2≠0
2)b²-2≠0,(-4m)²-4(b²-2)(-2m²-2b²)≥0
2m²+(b²-2)(m²+b²)≥0
b²m²+(b²-2)b²≥0
c²-a²=b²>2=a²
c²>2a²
e²>2
e>√2
∴双曲线C的离心率e的取值范围是:e>√2
2.设直线l方程为:x=y+c,点P(x1,y1),Q(x2,y2)
5FP=FQ(FP和FQ都有箭头)
5y1=y2
将直线l方程x=y+c代入b²x²-2y²=2b²并整理得:
b²(y+c)²-2y²=2b²
c²=2+b²
(b²-2)y²+2b²cy+b²c²-2b²=0
y1+y2=-2b²c/(b²-2),y1y2=(b²c²-2b²)/(b²-2)
6y2==-2b²c/(b²-2),5y2²=(b²c²-2b²)/(b²-2)
消y2
9/5=b^4c²/[(b²-2)(b²c²-2b²)]
5b²c²=9(b²-2)(c²-2)
5c²(c²-2)=9(c²-4)(c²-2)
令c²=t,则有:5t(t-2)=9(t-4)(t-2)
t²-11t+18=0
t=2或t=9
∵t=c²>a²=2
∴c²=9
b²=9-2=7
双曲线C的方程为:x²/2-y²/7=1