Question

求不定积分(√a^2-x^2)/x

Answer 1

第一题,

令x=asint,t∈(-π/2,π/2)

dx=acostdt

原式=a∫(cost)^2/sintdt

=a∫[1-(sint)^2]/sintdt

=a∫csctdt-a∫sintdt

=aln|cott-csct|+acost+C

根据sint=x/a作出辅助三角形,得 csct=1/sint=a/x

cott=[√(a^2-x^2)]/x

cost=[√(a^2-x^2)]/a

将它们回代即可.

第二题,

原式=(-1/2)∫xd(cos2x)

=(-1/2)xcos2x+(1/4)∫cos2xd(2x)

=(-1/2)xcos2x+(1/4)sin2x+C

第三题,正确.

原式=∫1/sinxdx

=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dx

=∫1/[tan(x/2)(cos(x/2))^2]d(x/2)

=∫1/(tan(x/2))d(tan(x/2))

=ln|tan(x/2)|+C

第四题,正确.

右边=[2sin(t/2)]^2/[2sin(t/2)cos(t/2)]

=tan(t/2)=左边