Question

已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2，又a为质数．

Answer 1

解题思路：从a²+b²=c²的变形入手；a²=c²-b²，根据a是质数，则a²一定是只有因数1，a和a²，运用质数、奇偶数性质证明．

证明：（1）∵a²+b²=c²，

∴a²=c²-b²=（c+b）（c-b），

因为a是质数，而（c+b）和（c-b）不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a²，得到c=b+1，

则b，c是两个连续的正整数，

∴b与c两数必为一奇一偶；

（2）将c=b+1代入原式得：

a²+b²=（b+1）²=b²+2b+1

得到a²=2b+1

则a²+2a+1=2b+1+2a+1=2（a+b+1）

左边等于（a+1）²是一个完全平方数，

所以右边2（a+b+1）是一个完全平方数，得证．

点评：

本题考点： 质数与合数．

考点点评： 本题主要考查了质数的性质，正确理解若a是质数，则a2一定是只有因数1，a和a2，是解决本题的关键．