Question

已知函数f（x）=|1-2x|（x∈R）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用f（a）=f（b），建立方程关系，即可求出2a+2b的值．（Ⅱ）利用函数的定义域，以及值域的关系，确定函数的单调性，解条件方程即可．

（Ⅰ）由f（a）=f（b）得：|1-2^a|=|1-2^b|，

∴1-2^a=1-2^b或1-2^a=2^b-1，

即2^a=2^b或2^a+2^b=2，

∵a≠b，

∴2^a≠2^b，

∴2^a+2^b=2．

（Ⅱ）∵x＞0，∴f（x）=2^x-1．

又函数f（x）=2^x-1在（0，+∞）是增函数，

∴函数f（x）在[a，b]（b＞a＞0）上单调递增，

∵函数在[a，b]上的值域为[1，3]，

则

f(a)＝1

f(b)＝3，

即

2a−1＝1

2b−1＝3，

解得：

a＝1

b＝2．

故a=1．b=2．

点评：

本题考点： 函数的零点；函数的定义域及其求法；函数的值域．

考点点评： 本题主要考查与指数函数有关的综合问题，要使熟练掌握指数函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．（本题也可以使用数形结合来解决）．