Question

如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D，E，F，得△DEF．若△ABC的边长为a．

Answer 1

解题思路：（1）先证明出△DEF是等边三角形，两等边三角形相似，进而求出相似比；

（2）根据三角形的面积公式求出这两个三角形的面积；

（3）算出两个三角形的面积比与边长之比，再得到结论．

（1）∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，

∴DE=[1/2]AC，DF=[1/2]BC，EF=[1/2]AB，

∵等边三角形ABC，

∴△DEF是等边三角形，

∴△DEF与△ABC相似，相似比是[1/2]，

（2）S_△ABC=[1/2]×a×

3

2a=

3

4a²，

S_△DEF=[1/2]×[1/2]a×

3

4a²=

3

16a²．

（3）两个三角形的面积比为1：4，边长之比为1：2，

三角形的面积比等于边长之比的平方．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．