（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b＋1
(1)由a x－b x>0，得 x>1，因为a>1>b>0，所以
>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设x 1>x 2>0，因为a>1>b>0，所以ax 1>ax 2，bx 1
2 ，则－bx 1>－bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，于是lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)，即f(x 1)>f(x 2)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使得直线AB平行于x轴，即x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴．
(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以当a≥b＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．