Question

已知抛物线y2=x的弦AB与直线y=1公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在

Answer 1

解题思路：（1）由抛物线y²=x知p=[1/2]，F（[1/4]，0），根据抛物线的定义，三角形的边角关系，判断得出最值，及相应直线的位置，

（2）联立方程组，借助韦达定理，弦长公式求解直线方程．

（1）由抛物线y²=x知p=[1/2]，F（[1/4]，0），

准线方程为x=-[1/4]，

N到准线的距离为d=1+[1/4]=[5/4]，

AF+BF=2×d=[5/2]，

在△ABF中，AF+BF≥AB，

所以AB=[5/2]取最大，此时直线AB过焦点F，

（2）设AB的方程：y=k（x-[1/4]），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

与y²=x联立方程组化简得：k²x²-（

k2+1

2+1）x+

k2

16=0，

x₁+x₂=[1/2+

3

2k2]，x₁x₂=[1/16]，

|AB|²=（1+k²）|x₁-x₂|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=[25/4]，

求解得出：k=

6

3，

∴直线AB的方程：y=

6

3（x-[1/4]），即：直线的方程为：4x-2

6y-1=0

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，焦点弦的性质，求解方法，属于中档题．