Question

将和式的极限lim(n趋近于无限)(1^p+2^p+3^p+.+n^p)/n^(p+1)(p>0)表示成定积分

Answer 1

原式=lim(n->∞){(1/n)[(1/n)^p+(2/n)^p+(3/n)^p+...+(n/n)^p]}

=lim(n->∞){[(1/n)^p+(2/n)^p+(3/n)^p+...+(n/n)^p]}(1/n)

=lim(n->∞)Σ(k从1到n)(k/n)^p (1/n)

下面把lim(n->∞)Σ(k从1到n)换为∫(0,1)

(k/n)^p换为 x^p

1/n换为 dx

即得

原式=∫(0,1)x^pdx