Question

设x≥1，y≥1，证明：x+y+1xy≤1x+1y+xy．

Answer 1

解题思路：直接利用分析法，通过移项变形，转化为基本不等式，即可证明不等式成立．

证明：要证x+y+

1

xy≤

1

x+

1

y+xy，

只需证明[1/xy−

1

x−

1

y≤xy−x−y，

只需证明(1−

1

x)(1−

1

y)≤(1−x)(1−y)=（x-1）（y-1），

只需证明1-

1

x]≤x-1；1-[1/y]≤y-1，

即证x+[1/x]≥2，y+[1/y]≥2，（x≥1，y≥1）这是均值不等式，

所以x≥1，y≥1，x+y+

1

xy≤

1

x+

1

y+xy得证．

点评：

本题考点： 综合法与分析法(选修）；不等式的证明．

考点点评： 本题考查分析法证明不等式的方法，注意分析法的证明步骤，考查逻辑推理能力．