已知以点 C ( t , )（ t ∈R）， t - 知识问答

已知以点 C ( t , )（ t ∈R）， t ≠0）为圆心的圆与 x 轴交于点 O ， A ，与 y 轴交于点 O

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（1）∵圆 C 过原点 O ,∴ OC²= t²+
则圆 C 的方程为
令 x =0,得 y₁=0, y₂=
；令 y =0得 x₁=0, x₂=2 t ,即 A (2 t ,0) B (0,
)
∴ S_△OAB=
OA × OB =
|
|×|2 t |=4．……4分
即 △OAB 的面积为定值
（2）∵| OM |=| ON |，| CM |=| CN |，∴ OC 垂直平分线段 MN ．
∵ K_MN=" –" 2∴ K_OC=
∴
解得 t =2或 t = –2．
当 t =2时，圆心 C 的坐标为（2，1）半径 OC =
，此时圆心到直线 y = –2 x +4的距离 d =
，即圆 C 与直线 y = –2 x +4相交于两点。
当 t =-2时,圆心 C 的坐标为（–2，–1）半径 OC =
此时圆心到直线 y = –2 x +4的距离 d =
>
, 即圆 C 与直线 y = –2 x +4不相交，
∴ t = –2不合题意，舍去．∴圆 C 的方程为( x –2)²+( y –1)²=5．……9分
(3)半径 OC =
．当且仅当 t =
时取等号 ∵ t >0 ∴ t =
．
此时圆心坐标为 C （
）半径为2．
若圆 C 上至少有三个不同的点到直线 l ： y –
= k ( x –3 –
)的距离为
．
则圆心 C 到直线的距离 d ≤
．即：
所以–
．
略

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