解题思路:(1)连结AP,根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠APB=90°,则AP⊥BC,由于P为BC中点,则AP为BC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得AB=AC;
(2)连结OP,易得OP为△ABC的中位线,则OP∥AC,由于PD⊥AC,所以OP⊥PD,根据切线的判定定理得PD是⊙O的切线;
(3)根据等腰三角形的性质得∠B=∠C,则∠B=30°,在Rt△ABP中,PB=[1/2]BC=2,根据余弦的定义可计算出AB.
(1)证明:
连结AP,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠APB=90°,
∴AP⊥BC,
∵P为BC中点,
∴AP为BC的垂直平分线,
∴AB=AC;
(2)连结OP,如图,
∵点O为AB的中点,P为BC的中点,
∴OP为△ABC的中位线,
∴OP∥AC,
∵PD⊥AC,
∴OP⊥PD,
∴PD是⊙O的切线;
(3)∵AB=AB,
∴∠B=∠C,
∵∠CAB=120°,
∴∠B=30°,
在Rt△ABP中,PB=[1/2]BC=[1/2]×4=2,
∴cos30°=[PB/AB],
∴AB=
2
3
2=
4
3
3.
即⊙O的直径为
4
3
3.
点评:
本题考点: 切线的判定.
考点点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理.