已知:如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点P,且P为BC中点,PD⊥AC于点D.

1个回答

  • 解题思路:(1)连结AP,根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠APB=90°,则AP⊥BC,由于P为BC中点,则AP为BC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得AB=AC;

    (2)连结OP,易得OP为△ABC的中位线,则OP∥AC,由于PD⊥AC,所以OP⊥PD,根据切线的判定定理得PD是⊙O的切线;

    (3)根据等腰三角形的性质得∠B=∠C,则∠B=30°,在Rt△ABP中,PB=[1/2]BC=2,根据余弦的定义可计算出AB.

    (1)证明:

    连结AP,如图,

    ∵AB为⊙O的直径,

    ∴∠APB=90°,

    ∴AP⊥BC,

    ∵P为BC中点,

    ∴AP为BC的垂直平分线,

    ∴AB=AC;

    (2)连结OP,如图,

    ∵点O为AB的中点,P为BC的中点,

    ∴OP为△ABC的中位线,

    ∴OP∥AC,

    ∵PD⊥AC,

    ∴OP⊥PD,

    ∴PD是⊙O的切线;

    (3)∵AB=AB,

    ∴∠B=∠C,

    ∵∠CAB=120°,

    ∴∠B=30°,

    在Rt△ABP中,PB=[1/2]BC=[1/2]×4=2,

    ∴cos30°=[PB/AB],

    ∴AB=

    2

    3

    2=

    4

    3

    3.

    即⊙O的直径为

    4

    3

    3.

    点评:

    本题考点: 切线的判定.

    考点点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理.