解题思路：令[1/a＝x，
2
b
＝y，
3
c
＝z，则21ab+2bc+8ca≤12，等价于2xyz≥2x+4y+7，可得2xy≥7，z≥
2x+4y
2xy−7]，再结合柯西不等式，即可得证．
证明：令[1/a＝x，
2
b＝y，
3
c＝z，则21ab+2bc+8ca≤12，等价于2xyz≥2x+4y+7，
∴2xy≥7，z≥
2x+4y
2xy−7]，
∴x+y+x≥x+y[2x+4y/2xy−7]=x+[11/2x]+[2xy−7/2x]+
2(x2+7)
x(2xy−7)≥x+[11/2x]+2
1+
7
x2，
由柯西不等式可得(1+
7
x2)(9+7)≥(3+
7
x)2
∴x+y+x≥x+[11/2x]+[1/2](3+
7
x)=[3/2+x+
9
x]≥[15/2]，
即[1/a+
2
b+
3
c≥
15
2]．
点评：
本题考点： 二维形式的柯西不等式；不等式的证明．
考点点评： 本题考查不等式的证明，考查换元法，考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
1年前
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