Question

证:AD⊥CF如图,在等腰RT三角形ABC中,角ACB=90°,D为BC中点,DE⊥AB,垂足为点E,过点B作BF‖AC

Answer 1

此题不难

①证明：

∵BF‖AC,∠CBA=45°,∠ACB=90°

∴∠CBF=90°,∠ABF=∠CBA=45°

又∵DE⊥AB,

容易知道△BED≌△BEF

∴BF垂直平分线段DF,DE=EF,BD=BF

∵D是BC中点,得CD=BD

∴BF=CD

又∵AC=BC,∠ACD=∠CBF=90°

∴Rt△ACD≌Rt△CBF

∴∠CAD=∠BCF,AD=CF

∴∠CGA=180°-(∠CAD+∠ACF)

=180°-(∠BCF+∠ACF)

=180°-∠ACB

=90°

即AD⊥CF

得证

②△ACF是等腰三角形,且只有两边相等,是AF=CF

证明如下：

由第一问知道,

AB垂直平分线段DF

∴AF=AD

第一问中已经证明AD=CF

而AD>AC

∴AF=CF>AC

即△ACF是等腰三角形

得证