解题思路：先把原方程化为2x2-3x-（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x=1是方程2x2-3x-（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：
（1）当△=0时；
（2）若x=1是方程①的根；
（3）当方程①有异号实根时；
（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．
原方程可化为2x2-3x-（k+3）=0，①
（1）当△=0时，k＝−
33
8，x1＝x2＝
3
4满足条件；
（2）若x=1是方程①的根，得2×12-3×1-（k+3）=0，k=-4；
此时方程①的另一个根为[1/2]，故原方程也只有一根x＝
1
2；
（3）当方程①有异号实根时，x1x2＝
−k−3
2＜0，得k＞-3，此时原方程也只有一个正实数根；
（4）当方程①有一个根为0时，k=-3，另一个根为x＝
3
2，此时原方程也只有一个正实根．
综上所述，满足条件的k的取值范围是k＝−
33
8或k=-4或k≥-3．
点评：
本题考点： 根与系数的关系；根的判别式；解分式方程．
考点点评： 主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．