已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:

4个回答

  • 解题思路:(1)由题意连接A1C1,先证明A1ACC1是平行四边形得A1C1∥AC且A1C1=AC,再证AOC1O1是平行四边形,然后利用直线与平面平行的判定定理进行证明;

    (2)因为AB∥CD∥D′C′,加上AB=CD=D′C′,可证ABC′D′是平行四边形,同理可证C′D∥平面AB′D′,从而求证.

    证明:(1)连接A1C1,设A1C1∩B1D1=O1

    连接AO1,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体

    ∴A1ACC1是平行四边形

    ∴A1C1∥AC且A1C1=AC

    又O1,O分别是A1C1,AC的中点,

    ∴O1C1∥AO且O1C1=AO

    ∴AOC1O1是平行四边形

    ∴C1O∥AO1,AO1⊂面AB1D1,C1O⊄面AB1D1

    ∴C1O∥面AB1D1

    (2)证明:

    AB∥DC∥D′C′

    AB=DC=D′C′⇒ABC′D′是平行四边形,

    ∴⇒

    BC′∥AD′

    BC′⊄平面AB′D′

    AD′⊂平面AB′D′

    BC′∥平面AB′D′

    ⇒同理,C′D∥平面AB′D′

    BC′∩C′D=C′⇒平面C′DB∥平面AB′D′.

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面平行的判定.

    考点点评: 此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面平行的判断,此类问题先证明两个面平行,再证直线和面平行,这种做题思想要记住.