Question

设a∈R，函数f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2（π2+x）满足f(?π3)=f（0）．（1）求f（x

Answer 1

（1）f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（[π/2]+x）

=[a/2]sin2x-cos2x，

由f(?

π

3)=f（0），解得a=2

3

故f（x）=[a/2]sin2x-cos2x=

3sin2x-cos2x=2sin（2x-[π/6]），

故单调递减区间为[kπ+

π

3，kπ+

5π

6]，k∈Z

（2）由

a2+c2?b2

a2+b2?c2＝

c

2a?c，可解得2sinAcosB=sinA，

∵sinA≠0，∴2cosB=1，即cosB=[1/2]，又0＜B＜π

∴B=[π/3]，又A+[π/3]＞

π

2，

∴[π/6＜A＜

π

2]，

则f（A）=2sin（2A-[π/6]），[π/6]＜2A?

π

6＜

5π

6，

∴2×

1

2＜f(A)＜1×2，即f（A）∈（1，2]．