Question

已知椭圆x^2/4+y^2=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与x轴关于P,Q两点,

Answer 1

易知,椭圆x²/4+y² =1短轴两端点B1,B2的坐标分别为(0,1),(0,-1)

设椭圆上任意一点M(2cosθ,sinθ),θ ∈[0,2π)且θ ≠π/2,θ ≠3π/2

由两点式得到B1M所在的直线方程为

(y-1)/(sinθ-1)=x/2cosθ (1)

在(1)中令y=0,得到P点的坐标为( 2cosθ/(1-sinθ),0)

同理,B2M所在的直线方程为

(y+1)/(sinθ+1)=x/2cosθ (2)

Q的坐标为( 2cosθ/(1+sinθ),0)

所以　|OP1|•|OP2|=|2cosθ/(1-sinθ)|•||2cosθ/(1+sinθ)|=4co²sθ/(1-sin²θ)=4