Question

已知AB,AC是圆O的两条弦,M为扶AB的中点,A为扶AC的中点,连接MN,分别交AB,AC于D,E两点,求证AD=AE

Answer 1

证明：

方法一：

连接AM、AN、BM、CN

因为M、N分别是弧AB、AC的中点

所以∠MAB＝∠B＝∠ANM,∠AMN＝∠C＝∠CAN

而∠ADE＝∠AMN＋∠MAB,∠AED＝∠CAN＋∠ANM

所以∠ADE＝∠AED

所以AD＝AE

方法二：

连接OM、ON,分别交AB、AC与P、Q

因为M、N分别是弧AB,AC的中点

所以OM⊥AB,ON⊥AC

所以∠APM＝∠AQN＝90°

因为OM=ON

所以∠OMN＝∠ONM

因为∠MDP＝90°－∠M,∠NEQ＝90°－∠N

所以∠MDP＝∠NEQ

因为∠ADE＝∠MDP,∠AED＝∠NEQ

所以∠ADE＝∠AED

所以AD＝AE