已知 f(x)为R上的可导函数,且f(x)<f'(x)和f(x)>0对于x∈R恒成立,则有(  )

1个回答

  • 解题思路:先构造函数y=

    f(x)

    e

    x

    ,对该函数进行求导,化简变形可判定导函数的符号,再判断增减性,从而得到答案.

    ∵f(x)<f'(x) 从而 f'(x)-f(x)>0 从而

    ex[f′(x)−f(x)]

    e2x>0

    从而 (

    f(x)

    ex)′>0 从而函数y=

    f(x)

    ex单调递增,故 x=2时函数的值大于x=0时函数的值,

    f(2)

    e2>f(0)所以f(2)>e2f(0),f(2010)>e2010f(0).

    故选B.

    点评:

    本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系,即导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.