已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√(a²+4)+√(b²+1)的最小值

2个回答

  • 考点:轴对称-最短路线问题;勾股定理.运用对称分析,借助图形求U的最小值.此题考查了轴对称---最短路径问题,将表达式转化为勾股定理,体现了数形结合在解题中的作用

    作线段AB=2,

    过A作AC⊥AB,且AC=2,

    过B在AB的另一侧作BD⊥AB,且BD=1

    在AB上任取一点P,设PA=a,则PB=b,则a+b=2

    连结PC,PD ,CD

    由勾股定理得

    CP=√(a²+2²)=√(a²+4)

    DP=√(b²+1²)=√(b²+1)

    CD=√[(2+1)²+2²]=√13

    由两点之间线段最短得

    CP+DP≥CD

    即√(a²+4)+√(b²+1)≥√13

    所以若a+b=2,则u=√(a²+4)+√(b²+1) 的最小值是√13

    解2

    分析:将b=2-a代入u=√(a²+4)+√(b²+1) ,得到u的关于a的表达式,再利用勾股定理,将表达式转化为直角三角形两斜边PC、PD的和,利用勾股定理求和即可.

    将b=2-a代入u=√(a²+4)+√(b²+1)

    得u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)

    构造如下图形,其中AB=2,AC=2,BD=1,AC⊥AB,BD⊥AB

    P是AB上任意一点,点C是点A关于直线AB的对称点

    设PA=a,则u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²) =PC+PD

    当D、P、E三点共线时,u的值最小,此时由勾股定理可求得u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)的最小值为√13

    解3

    作图可知,最小值相对于点(0,2)和点(2,-1)的距离

    相当于求x轴上一点到点(0,2)和点(2,1)的距离和的最小值 ,也就是√13