Question

设正整数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=1/4(an+1)^2,求数列{an}的通项公式

Answer 1

Sn=(1/4)(an+1)^2

S(n-1)=(1/4)[a(n-1)+1]^2

相减

且an=Sn-S(n-1),

所以4an=(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2

[a(n-1)+1]^2=(an+1)^2-4an=(an-1)^2

a(n-1)+1=an-1或a(n-1)+1=-an+1

若a(n-1)+1=-an+1

a(n-1)+a(n)=0

和an是正整数数列矛盾

所以a(n-1)+1=an-1

an-a(n-1)=2

所以an是等差数列

d=2

a1=S1

所以a1=1/4(a1+1)^2

(a1-1)^2=0

a1=1

an=1+2(n-1)=2n-1