Question

（2014•湖北）设函数f（x）=x2-x+alnx，其中a≠0．

Answer 1

解题思路：（1）求导数，确定函数f（x）在[1，4]上的单调性，即可求函数f（x）在[1，4]上的最值；

（2）函数f（x）既有极大值，又有极小值，f′（x）=

2

x

2

−x+a

x

=0在（0，+∞）内有两个不等实根，可得2x²-x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，即可求实数a的取值范围；

（3）求出f（x）_min=f（1）=0，可得k²-k≥lnk，即（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）≥lnn!，即可证明结论．

（1）a=-6，f（x）=x²-x+alnx，

∴f′（x）=

(2x+3)(x−2)

x，x＞0

∴x∈[1，2]，f′（x）≤0，x∈[2，4]，f′（x）≥0，

∴f（x）_min=f（2）=2-6ln2，f（x）_max=max{f（1），f（4）}，

∵f（1）=0，f（4）=12-12ln2＞0，

∴f（x）_max=12-12ln2；

（2）∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，

∴f′（x）=

2x2−x+a

x=0在（0，+∞）内有两个不等实根，

∴2x²-x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，

令g（x）=2x²-x+a，则

△＝1−8a＞0

g(0)＝a＞0，解得0＜a＜[1/8]，

（3）证明：a=-1时，f（x）=x²-x-lnx，

∴f′（x）=

(2x+1)(x−1)

x≥0恒成立，

∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，

∴f（x）_min=f（1）=0，

∴x²-x≥lnx（x=1时取等号），

则k²-k≥lnk，

∴（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）≥lnn!，

∴

n(n+1)(2n+1)

6-

n(n+1)

2≥lnn!，

∴

n(n2−1)

3）≥lnn!，

∴e n(n2−1)≥（n!）³．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，考查不等式的证明，难度中等．