Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，点D1、D分

Answer 1

解题思路：（I）由已知得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，从而得到侧面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁C₁，由此能够证明A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．

（Ⅱ）由D₁、D分别是棱B₁C₁、BC的中点，知B₁D∥CD₁，CD₁∥平面AB₁D．由此能够证明AB₁∥平面CA₁D₁．

（Ⅲ）先求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V₁，三棱锥C-A₁C₁D₁与三棱锥B₁-ABD的体积均为V₂，由多面体A₁B₁D₁-CAD的体积V=V₁-2V₂，能求出结果．

（I）证明：由已知得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

∴侧面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁C₁，

又A₁B₁=A₁C₁，∴A₁D₁⊥B₁C₁．

∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．…（4分）

（Ⅱ）证明：∵D₁、D分别是棱B₁C₁、BC的中点，

∴B₁D∥CD₁，∴CD₁∥平面AB₁D．

又ADD₁A₁为矩形，∴A₁D₁∥AD，∴A₁D₁∥平面AB₁D．

∵AD∩DB₁=D，∴平面CA₁D₁∥平面ADB₁．

又AB₁⊂平面AB₁D，∴AB₁∥平面CA₁D₁．…（8分）

（Ⅲ）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

∵侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，

点D₁、D分别是棱B₁C₁、BC的中点．

∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V₁=[1/2]×2×2×2=4，

三棱锥C-A₁C₁D₁与三棱锥B₁-ABD的体积均为V₂=[1/3×

1

2]×

2×

2×2=[2/3]，

∴多面体A₁B₁D₁-CAD的体积V=V₁-2V₂=4-2×[2/3]=[8/3]．…（12分）

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查多面体的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．