Question

已知二次函数y=ax^2的图象过点（2,1）,直线y=kx+1与该二次函数对应的抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,

Answer 1

(1)把(2,1)带入抛物线方程得a=1/4

∴x²=4y

当k=0时,直线是y=1,带入x²=4y解得x=±2,∴A(-2,1),B(2,1),AB=4

O到AB的距离为1,因此S=1/2*1*4=2

(2)直线过(0,1),恰好是抛物线的焦点,因此设A(x1,y1),B(x2,y2),焦点在y轴上的焦点弦|AB|=y1+y2+2

x²=4y,y=kx+1,化简得x²-4kx-4=0,∴x1+x2=4k

y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2=4k²+2

∴AB=4k²+4

O到AB:kx-y+1=0的距离d=|0+0+1|/√(k²+1)=1/√(k²+1)

S=1/2*d*AB=4,解得k=√3

由图像得x∈(x1,x2)时,抛物线在直线下方,把k=√3带入x²-4kx+4=0得x1=2√3-2√2,x2=2√3+2√2

∴2√3-2√2