首先,我对你的“注”做一下评价：
1.在题目的条件下一定有解
2.解是有限的,而且其个数和N的因子个数有关.确切的说解的个数等于N因子中小于根号N的个数.
3.从2中说明可以看出当且仅当N是素数（质数）或素数的平方时题目有唯一解.假设N因子中小于根号N的因子依次为c1,c2,...,ck,甲跑完a圈时乙恰好跑完b圈,则原题的k个解为：
a = (ci+N/ci)/2,b = (-ci+N/ci)/2,1≤i≤k.
下面是详细的解题过程：
设甲跑完a圈时乙恰好跑完b圈,则此时甲花的时间为
1+3+...+(2a-1) = a^2,(这个等式见【注】)
乙花的时间为
1+3+...(2b-1) = b^2.
根据题意,有
a^2 - b^2 = N
从而
(a+b)*(a-b) = N
因此,a+b与a-b都是N的因子,记a-b=c,我们有
a+b = N/c
从而可得：
a = (c+N/c)/2
b = (-c+N/c)/2
注意到 c^2 = (a-b)^2