Question

如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是边CD上的任意一点（不与C、D重合），将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF

Answer 1

解题思路：（1）根据正方形的性质得到∠D=∠B=90°，AB=AD，再根据折叠的性质得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，则AB=AF，根据三角形全等的判定方法即可得到Rt△ABG≌Rt△AFG

（2）有（1）的结论得到BG=FG，DE=FE，EG=FE+FG，则EC=4-x，GE=x+y，GC=4-y，在Rt△EGC中利用勾股定理得到（4-y）²+（4-x）²=（x+y）²，整理可得y=[−4x+16/x+4]（0＜x＜4）；

（3）由AG∥CF，根据平行线的性质得∠AGB=∠FCG，∠AGF=∠GFC，又由△ABG≌△AFG得到∠AGB=∠AGF，则∠FCG=∠GFC，于是有CG=GF，即y=4-y，解得y=2，然后把y=2代入y=[−4x+16/x+4]即可求出x．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠D=∠B=90°，AB=AD，

∵△ADE沿AE翻折至△AFE，

∴AD=AF，∠D=∠AFE=90°，

∴AB=AF，

在Rt△ABG和Rt△AFG中

AB＝AF

AG＝AG

∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，

∴BG=FG，DE=FE，

∴EG=FE+FG，

∵AB=4，

∴BC=CD=4，

∵DE=x，BG=y，

∴EC=4-x，GE=x+y，GC=4-y，

∴在Rt△EGC中，CG²+CE²=GE²，

∴（4-y）²+（4-x）²=（x+y）²，

∴y=[−4x+16/x+4]（0＜x＜4）；

（3）∵AG∥CF，

∴∠AGB=∠FCG，∠AGF=∠GFC，

∵△ABG≌△AFG，

∴∠AGB=∠AGF，

∴∠FCG=∠GFC，

∴CG=GF，

∴y=4-y，解得y=2，

把y=2代入y=[−4x+16/x+4]得[−4x+16/x+4]=2，解得x=[4/3]，

∴DE=[4/3]．

点评：

本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．

考点点评： 本题考查了正方形的性质：正方形四条边都相等，四个角为等于90°；正方形的对角线相等且互相垂直平分．也考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．