Question

28、如图,等边△ABC中AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在AD下方作等边△CDE,连BE（1）

Answer 1

（1）证明：因为△ABC和△CDE都是等边三角形,所以AC=BC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=60°,则∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO,即∠DCA=∠BCE.所以△ACD≌△BCE,故AD=BE.

（2）由△ACD≌△BCE,推出∠DAC=∠CBP=1/2∠BAC=1/2×60°=30°.

由∠CBP=2∠BCP,推出∠BCP=1/2×30°=15°,∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-30°-15°=135°

在△BCP中,由正弦定理得出CP/sin30°=BC/sin135°=8/(√2/2)=8√2.推出CP=8√2×sin30°=4√2=CQ.

且∠CPQ=∠CBP+∠BCP=30°+15°=45°.

因为CP=CQ,所以△CPQ为等腰三角形,∠Q=∠CPQ=45°,故∠PCQ=180°-∠Q-∠CPQ=90°,即△CPQ为等腰直角三角形.因此,PQ=√2CP=√2×4√2=8,EQ=PQ-PE=8-3=5.