已知函数f(x)=lnx+[a/x+1],a为常数,若a=[9/2],求函数f(x)在(1,e)上的值域.

1个回答

  • 解题思路:对函数解析式求导,判断导函数在区间上的正负,进而判断出函数的单调新,求得函数的最大和最小值.

    f′(x)=[1/x]-

    9

    2

    (x+1)2=

    x2+2x+1−

    9

    2x

    x(x+1)2=

    (x−

    5

    4)2−

    9

    16

    x(x+1)2,

    ∵x∈(1,e),

    ∴当1<x<2时f′(x)<0,函数f(x)单调减,

    当2<x<e时,f′(x)>0,函数f(x)单调增,

    故x=2时,f′(x)=0,函数f(x)取最小值,f(2)=ln2+[3/2],

    f(1)=ln1+[9/4]=[9/4],f(e)=lne+

    9

    2

    e+1,f(e)<f(1),

    ∴函数的最大值为[9/4],

    故函数f(x)在(1,e)上的值域为[ln2+[3/2],[9/4]).

    点评:

    本题考点: 函数的值域.

    考点点评: 本题主要考查了导函数的应用.在判断函数单调性的问题上,对函数求导进行判断是常用方法,应熟练应用.