Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E．

Answer 1

解题思路：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形ACD，根据切线的判定定理证明AC也是圆的切线．根据切线长定理得到AE=DE，根据等边对等角和等角的余角相等证明CE=DE．

（2）根据切割线定理和（1）中的结论即可证得：CD•CB=4DE²．

证明：（1）连接AD；

∵AB是圆的直径，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵∠A=90°，

∴AC是圆的切线；

又∵DE是圆的切线，

∴DE=AE，

∴∠ADE=∠EAD，

∴∠C=∠CDE，

∴CE=DE，

∴AE=CE．

（2）根据切割线定理得CA²=CD•CB；

∵由（1）得CA=2DE，

∴CD•CB=4DE²．

点评：

本题考点： 与圆有关的比例线段．

考点点评： 本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切割线定理．构造直径所对的圆周角是圆中构造直角三角形的一种常用方法．掌握切线长定理和切割线定理的运用．