1、命题趋势及典型例题解释
（1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来,一般多以选择题出现,填空题出现,也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来．
例1：设命题甲：x和y满足 ,命题乙：x和y满足 ,那么 甲是乙的（）
A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
［思路］
根据同向不等式的可加性,从乙 甲和甲 乙两个方面进行推导,再结合充要条件相关概念进行分析.
［破解］易知 即乙 甲；但当 时,显然满足 不满足 故甲 乙 不成立.从而甲是乙的必要但不充分条件 .故选B
［收获］
本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合.做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来.
例2：已知 .设
函数 在R上单调递减.
不等式 的解集为R.
如果 和 有且仅有一个正确,求 的取值范围.
［思路］
此题虽是一道在老教材之下的高考试题,但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中,绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系,属于对于学生提出的基本要求内容的范畴,本题将这几部分知识内容有机地结合在一起,在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时,考查了学生命题转换,分类讨论等能力,在不同的方法下有不同的运算量,较好地体现出了“多考一点想,少考一点算”的命题原则.
［破解］:函数 在R上单调递减 ,不等式 的解集为R 函数 在R上恒大于1,∵ ∴函数 在R上的最小值为 ,∴不等式 的解集为R ,即 ,若 正确,且 不正确,则 ；若 正确,且 不正确,则 ；
所以 的取值范围为 .
［收获］
“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题,借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答,是这个命题的基本特征,在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.
（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现,此类题主要以一元二次不等式,分式不等式,含绝对值不等式为主,在解答题中含字母参数的不等式较多,需要对字母进行分类讨论．
例3：解关于 的不等式 .
分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号．
解
(1)当 时：若 ,则 ,不等式解集为 ；若 ,则 ,解集为 .
(2)当 时：不等式为 ,解集为 ．
(3)当 时：若 ,则 ,解集为 .
若 ,不等式为 ,解集为 且 .
若 ,则 ,解集为 ．
点拨 由于分类的原因有两个,为了避免逻辑混乱,本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分．
例4：若不等式| －4|+|3－ |< 的解集为空集,求 的取值范围.
［思路］
此不等式左边含有两个绝对值符号,可考虑采用零点分段法,即令每一项都等于0,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集,这是按常规去掉绝对值符号的方法求解,运算量较大.若仔细观察不等式左边的结构,利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式| + |≤| |+| |,便把问题简化.
［破解］
解法一 (1)当 ≤0时,不等式的解集是空集.
(2)当 >0时,先求不等式| －4|+|3－ |< 有解时 的取值范围.
令 －4=0得 =4,令3－ =0得 =3
①当 ≥4时,原不等式化为 －4+ －3< ,即2 －7<
解不等式组 ,∴ >1
②当3< 1
③当 ≤3时,原不等式化为4－ +3－ < 即7－2 <
解不等式 ,∴ >1
综合①②③可知,当 >1时,原不等式有解,从而当0< ≤1时,原不等式解集为空集.
由(1)(2)知所求 取值范围是 ≤1
解法二：由| －4|+|3－ |的最小值为1得当 >1时,| －4|+|3－ |< 有解
从而当 ≤1时,原不等式解集为空集.
解法三： ∵ >| －4|+|3－ |≥| －4+3－ |=1∴当 >1时,| －4|+|3－ |< 有解从而当 ≤1时,原不等式解集为空集.
［收获］
1）一题有多法,破解时需学会寻找最优解法.
2） 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补. 恒成立 . 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补. 恒成立 . 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补. 恒成立 . 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补. 恒成立 .
（3）证明不等式一般同函数知识相结合,综合性较强,灵活性较大,具有较好的区分度．
例5：若二次函数 的图象经过原点,且 , ,求 的范围．
［思路］要求 的取值范围,只需找到含 的不等式(组)．由于 是二次函数,所以应先将 的表达形式写出来．即可求得 的表达式,然后依题设条件列出含有 的不等式(组),即可求解．
［破解］因为 的图象经过原点,所以可设 ．于是
解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得 其中等号分别在 与 时成立,且 与 也满足（1）所以 的取值范围是 ．
解法二(数形结合)建立直角坐标系 ,作出不等式组(1)所表示的区域,如图中的阴影部分．因为 ,所以 表示斜率为2的直线系．如图6,当直线 过点 , 时,分别取得 的最小值6,最大值10．即 的取值范围是： ．
解法三(利用方程的思想)因为 所以 又 ,而
, , ①
所以 ． ②
①+②得 即 .
［收获］
1)在解不等式时,要求作同解变形．要避免出现以下一种错将不等式组（1）变形得 ,而 , 所以
2)对这类问题的求解关键一步是,找到 的数学结构,然后依其数学结构特征,揭示其代数的、几何的本质,利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法,从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高．
3）本题灵活地考查了同向不等式的可加性,但要注意 的数学结构.