Question

已知a、b∈R,求函数y=(x-a)^2+(y-b)^2的最小值

Answer 1

y=(x-a)^2+(y-b)^2

y^2-(2b+1)y+(x-a)^2+b^2=0

化成x的二次方程

x^2-2ax+(a^2+b^2+y^2-(2b+1)y)=0

方程有根

则判别式大于等于0

△=4a^2-4(a^2+b^2+y^2-(2b+1)y)

=-y^2+(2b+1)y-b^2≥0

则y^2-(2b+1)y+b^2≤0

y^2-(2b+1)y+b^2=0的两个根为

y=[（2b+1）±√(4b+1)]/2

则y^2-(2b+1)y+b^2≤0的解集为

[（2b+1）-√(4b+1)]/2≤y≤（2b+1）+√(4b+1)]/2

y的最小值为[（2b+1）-√(4b+1)]/2