Question

有点急,求高手解答!设矩阵A=1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1,求正交矩阵T使T-1AT=T'AT为对角矩

Answer 1

1 -1 -1

-1 1 -1

-1 -1 1

|A-λE| =

1-λ -1 -1

-1 1-λ -1

-1 -1 1-λ

= -(λ + 1)(λ - 2)^2

所以A的特征值为 -1, 2, 2

解出 (A+E)X=0 的基础解系: a1=(1,1,1)^T

解出 (A-2E)X=0 的基础解系: a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,0,-1)^T

将a2,a3正交化得

b1=(1,1,1)^T

b2=(1,-1,0)^T

b3=(1/2,1/2,-1)^T

单位化得

c1 = (1/√3, 1/√3,1/√3)^T

c2 = (1/√2, -1/√2, 0)^T

c3 = (1/√6, 1/√6, -2/√6)^T

得正交矩阵T =

1/√3 1/√2 1/√6

1/√3 -1/√2 1/√6

1/√3 0 -2/√6

则有 T-1AT=T'AT = diag(-1,2,2).

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