解题思路:首先根据商函数求导法则,把
xf′(x)−f(x)
x
2
<0
化为[
f(x)
x
]′<0;然后利用导函数的正负性,可判断函数y=
f(x)
x
在(0,+∞)内单调递减;再由f(2)=0,易得f(x)在(0,+∞)内的正负性;最后结合奇函数的图象特征,可得f(x)在(-∞,0)内的正负性.则x2f(x)>0⇔f(x)>0的解集即可求得.
因为当x>0时,有
xf′(x)−f(x)
x2<0恒成立,即[
f(x)
x]′<0恒成立,
所以
f(x)
x在(0,+∞)内单调递减.
因为f(2)=0,
所以在(0,2)内恒有f(x)>0;在(2,+∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在(-∞,-2)内恒有f(x)>0;在(-2,0)内恒有f(x)<0.
又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集.
所以答案为(-∞,-2)∪(0,2).
故选B.
点评:
本题考点: 函数的单调性与导数的关系;函数单调性的性质.
考点点评: 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系,同时考查了奇偶函数的图象特征.