（2014•天津三模）数列{an}的前n项和为Sn - 知识问答

（2014•天津三模）数列{an}的前n项和为Sn=2an-2，数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，

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解题思路：（1）由已知条件得到a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，从而推导出数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，由此求出数列{a_n}的通项公式为
a
n
＝
2
n
．进而能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由已知条件利用裂项求和法求出T_n=5-
3n+5
2
n
，从而得到{T_n}是单调递增的数列．T_n＜5，再由对于∀n∈N^*不等式
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+
b
3
a
3
+…+
b
n
a
n
＜m恒成立，能求出m的取值范围．
（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
得a_n=2a_n-1，又a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为an＝2n．
b₁=a₁=2，设公差为d，则由b₁，b₃，b₁₁成等比数列，
得（2+2d）²=2×（2+10d），…（4分）
解得d=0（舍去）或d=3．
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-1．…（6分）
（2）令T_n=
b1
a1+
b2
a2+
b3
a3+…+
bn
an
=[2/2+
5
22+
8
23+…+
3n−1
2n]，
2T_n=2+[5/2]+[8
22+…+
3n−1
2n−1，
两式相减得T_n=2+
3/2+
3
22+…+
3
2n−1−
3n−1
2n]，
∴Tn＝2+
3
2(1−
1
2n−1)
1−
1
2-
3n−1
2n
=5-
3n+5
2n，
∴T
点评：
本题考点：数列的求和；数列与不等式的综合．
考点点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

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