（1）分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0，x=2．
∴m=0时，方程有实数根．
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[-（3m-1）] 2-4m（2m-2）
=9m 2-6m+1-8m 2+8m=m 2+2m+1
=（m+1） 2≥0，
∴m≠0时，方程有实数根．
故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
综合①②可知，m取任何实数，方程mx 2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；
（2）设x 1，x 2为抛物线y=mx 2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标，
则x 1+x 2=
3m-1
m ，x 1x 2=
2m-2
m ．
由|x 1-x 2|=
( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2
=
9 m 2 -6m+1
m 2 -
8 m 2 -8m
m 2
=
m 2 +2m+1
m 2
=
(m+1) 2
m 2
=|
m+1
m |．
由|x 1-x 2|=2，得|
m+1
m |=2，
∴
m+1
m =2或
m+1
m =-2．
∴m=1或m=-
1
3 ．
∴所求抛物线的解析式为y 1=x 2-2x，
y 2=-
1
3 （x-2）（x-4）．
其图象如右图所示：
（3）在（2）的条件下y=x+b与抛物线
y 1，y 2组成的图象只有两个交点，结合图象求b的取值范围．
y 1 = x 2 -2x
y=x+b ，
当y 1=y时，得x 2-3x-b=0，有△=9+4b=0得b=-
9
4 ．
同理
y 2 =-
1
3 x 2 +2x-
8
3
y=x+b ，△=9-4（8+3b）=0，得b=-
23
12 ．
观察图象可知，
当b＞-
9
4 ，或b＜-
23
12 直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点；
由
y 1 = x 2 -2x
y 2 =-
1
3 (x-2)(x-4) ，
当y 1=y 2时，有x=2或x=1．
当x=1时，y=-1．
所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线为y=x-2．
综上所述可知：当b＜-
9
4 或b＞-
23
12 或b=-2时，
直线y=x+b与（2）中图象只有两个交点．