（1）∵ 点B(-2，m)在直线y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3.
∴ B(-2，3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4，0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
将点B(-2，3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，
∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为
，即
；
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0，-1) E(2，-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=
∵ CE=5，
∴ CB=CE=5
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0，-5).
又点F、D的坐标为F(0，3)、D(0，-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），
∴ BD=DE. 即D是BE的中点. ；
（3） 存在.
由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0，-1) C(2，0)代入
，得
.
解得 . ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=
x-1.
∵ 动点P的坐标为(x，
)，
解得
∴ 符合条件的点P的坐标为