Question

已知函数 f(x)= a• 2 x -b 2 x +b 是定义在R上的奇函数，其反函数的图象过点 ( 1 3 ，1) ，

Answer 1

∵f（x）是奇函数，∴ f(0)=0⇒

a•1-b

1+b =0 ，

∴a=b①…（2分）

又其反函数的图象过点 (

1

3 ，1) ，得原函数过点（1，

1

3 ），

∴ f(1)=

1

3 ⇒

a•2-b

2+b =

1

3 ②．

由①②得a=b=1．

记 y=f(x)=

2 x -1

2 x +1 ．整理得 2 x =

1+y

1-y ＞0 ，

∴

1+y

1-y ＞0⇒-1＜y＜1

上式两边取2为底的对数， x=lo g 2

1+y

1-y ，交换x、y， y=lo g 2

1+x

1-x

故所求反函数 f -1 (x)=lo g 2

1+x

1-x (-1＜x＜1) …（8分）

从而 lo g 2

1+x

1-x ≥lo g 2

1+x

m 对x∈（-1，1）恒成立

∵y=log ₂x是（0，+∞）上是增函数，

∴

1+x

1-x ≥

1+x

m …（11分）

即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立

故m的取值范围是m≥2…（13分）

故答案为：m≥2．